Análise Combinatória - parte 1

A análise combinatória é o ramo da Matemática que tem como objetivo estudar a constituição, a contagem e as propriedades dos agrupamentos de pessoas, números, letras, etc... 

É aplicada a muitos ramos como a genética, estatística, medicina, engenharia entre outras.

Em um restaurante vegetariano serve os seguintes pratos:

• dois tipos de massa: M1, M2
• dois tipos de acompanhamentos: A1, A2
• três tipos de vegetais: V1, V2, V3

Como determinar todas as possibilidades de fazer uma refeição que tenha um tipo de massa, um tipo de acompanhamento e um tipo de vegetal, sem que haja repetição?

Para responder essa pergunta podemos usar a árvore de possibilidades e o princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo.

Árvore de possibilidades

Podemos criar um esquema utilizando dos dados fornecidos, e então contar as possibilidades.

Princípio fundamental da contagem

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se k1, k2, .... kn indicam o número de possibilidades de cada etapa, o número total de maneiras pelas quais o evento ocorre é dado por:

k1 • k2 • .... • kn

Resolvendo a mesma pergunta através do princípio fundamental da contagem:

Em um restaurante vegetariano serve os seguintes pratos:

• dois tipos de massa: M1, M2
• dois tipos de acompanhamentos: A1, A2
• três tipos de vegetais: V1, V2, V3

Como determinar todas as possibilidades de fazer uma refeição que tenha um tipo de massa, um tipo de acompanhamento e um tipo de vegetal, sem que haja repetição?

n = etapas 3

k1 = 2

k2 = 2

k3 = 3

k1 • k2 • k3 = 2 • 2 • 3 = 12 possibilidades

E X E R C Í C I O S    D E   F I X A Ç Ã O

1) Uma pessoa dispõem de 2 calças, 2 paletós e 5 camisas distintos entre si. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir?

2) Um rapaz possuí 4 camisas e 3 bermudas, de quantas maneiras diferentes ele pode se vestir?

3) (PUC-Campinas) Considere placas de automóveis com códigos como estes:

ANA - 3457

BUM - 5166

CHI - 2002

As três letras são escolhidas em um alfabeto de 26 letras. Quantos códigos distintos existem, terminados com o número 1.000?
a) 17.576
b) 15.600
c) 5.800
d) 2.600
e) 6

4) Uma moeda tem duas faces: cara (k) e coroa (c). Lança-se uma moeda três vezes seguidas e observa-se qual face ficou voltada para cima. Quantos e quais os resultados possíveis? 

Fatorial de um número

O fatorial de um número é uma alternativa IMPORTANTE para a simplificação  de cálculos combinatórios. Ao produto de n fatores, de n até 1, com n ∈ N e n > 1, denominamos fatorial de n e indicamos por n!.

Assim:

n! = n • (n-1) • (n-2) • ... 3 • 2 • 1

  
Exemplos:

3! = 3 • 2 • 1

 4! = 4 • 3 • 2 • 1

Observações:
1!= 1
0! = 1

Podemos escrever:
8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
8! = 8 . 7!

E X E R C Í C I O S    D E   F I X A Ç Ã O

1) Indique na forma fatorial os seguintes números:
a) 24 = 1 . 2. 3. 4 = 4!
b) 120
c) 720

2) 3! + 2! é igual a:
a) 120
b) 32
c) 5
d) 8

3) Calcule o valor dos números fatoriais:
a) 0!
b) 1!
c) 6!

4) Resolva as equações:
a) (n - 4)! = 120

Resolução:

(n - 4)! = 5 . 4. 3. 2. 1

(n - 4)! = 5!

n - 4 = 5

n = 9

b) (n - 2)! = 24
c) (n - 1)! = 720

Arranjo simples

Alguns tipos de agrupamentos se diferem pela ordem, ou pela natureza. O arranjo simples considera essas diferenças.

Arranjos são agrupamentos que diferem entre si ao mudar a ordem de seus elementos.

Observe:
12, 21 (pela ordem), 52 e 45 (pela natureza).

Exemplo:
Em uma escola, há três estudantes concorrendo a presidência e vice-presidência do grêmio. São eles: Amanda (A), Bruna (B) e Carlos (C). De quantas maneiras esses dois cargos podem ser preenchidos?

Presidente	A       A                     B        B	C          C
Vice-presidente	B       C                     A        C	A          B

Observe as possibilidades que Amanda aparece como presidente:

AB  (Amanda presidente, Bruna vice-presidente)

AC (Amanda presidente, Carlos vice-presidente)

Na primeira etapa:

Para presidente existem 3 possibilidades para preencher o cargo.

Na segunda etapa:

Quando o cargo para presidente for preenchido restaram 2 possibilidades para preenchimento do cargo.

Assim,

Pelo princípio fundamental da contagem: 3 . 2 = 6 possibilidades diferentes.

AB, AC, BA, BC, CA, CB

Essas 6 possibilidades obtidas correspondem ao arranjo de três elementos, tomados dois a dois, indicamos por:

Para um arranjo de n elementos, tomados p a p, temos:

An,p = n • (n - 1) • (n - 2) • (n - 3) • .... • ( n - p + 1)

Exemplo:

Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os números 5, 4, 3, 2, 1, sem que haja repetição?

A5,3 = 5 • 4 • 3 = 60

ou

E X E R C Í C I O S    D E   F I X A Ç Ã O

1) Resolva:

a) A7,3 = 

b) A30, 2 = 

2) Quantos números de 3 algarismos distintos formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7?

3) Quantos números pares de 3 algarismos distintos formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

Permutações simples

Permutações são arranjos em que participam todos os elementos do conjunto.

Vamos considerar o conjunto A = {3, 2, 1}, e obter todos os arranjos de três algarismos:

321, 312, 213, 231, 123, 132

A3,3 = 6

Todos esses agrupamentos formados diferem apenas pela ordem. Os agrupamentos formados são chamados de permutações simples. Indicamos a permutação de n elementos por Pn.

Assim, P3 = A3,3 = 6

 Cálculo do número de permutações simples:

Pn = n!

Exemplo:
Quantos número de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 3, 4, 5, sem repeti-los?

P3 =3! = 3 . 2 . 1

Permutação com elementos repetidos

Até o momento, estudamos permutações com elementos distintos.

Mas o que acontece quando permutamos n elementos de uma sequência e entre eles há elementos repetidos?

Exemplo: 
Quantos anagramas tem a palavra RIGOROSO?
Essa palavra possuí duas letras que se repetem R e O. R é repetido 2 vezes e O é repetido 3 vezes. Assim, devemos considerar essa repetição já que essas letras não se diferenciam. E para não contarmos 3 vezes ou 2 vezes o mesmo anagrama.

Então,

Podemos generalizar o raciocínio anterior da seguinte maneira:
α elementos iguais a a1
β elementos iguais a a2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
y elementos iguais a am

Assim, podemos utilizar seguinte expressão:

 

 E X E R C Í C I O S    D E   F I X A Ç Ã O

1) Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA?

2) Quantos são os anagramas da palavra ROMA?

3) Quantos anagramas têm a palavra BRASIL?

4) (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 144

5) Quantos anagramas têm a palavra AMAR?

E aí? Gostaram? Dúvidas? Deixe um comentário!
Exercícios resolvidos e comentados [1][2][3]

: R E F E R Ê N C I A S :

Os dados e  exemplos usados nesse post foram baseados nas referências abaixo:

Paulo Bucchi. Curso Prático de Matemática, vol. 2, p. 160 - 182. Editora moderna, 1998.

José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Júnior, Paulo Roberto Câmara de Sousa. Matemática completa.  Editora FTD, 2016, vol.  2, p. 179 - 190.