Análise combinatória - princípio multiplicativo - exercícios 2

Análise combinatória - resolução de exercícios - princípio multiplicativo

1) Os números dos telefones fixos de uma cidade têm 8 algarismos. Determine a quantidade máxima de telefones que podem ser instalados, sabendo que os números não devem começar com zero.

Resolução:

Fique atento ao enunciado. 

Os dados do exercício são:
- números de telefone com 8 algarismos;
- números não podem começar com 0;
- determine a quantidade máxima de números de telefone para serem instalados.

8 algarismos:
_ _ _  _ _ _  _  _

Nosso sistema de numeração utiliza 10 algarismos - 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 - assim, temos 10 possibilidades. Menos para o primeiro algarismo que não pode ser utilizado o 0 (de acordo com o enunciado).

Então,

9 . 10 . 10 . 10. 10 . 10 . 10. 10  = 90 000 000 (quantidade máxima de telefones que podem ser instalados)

2) Considere os algarismos 2,3,6.
a) Quantos números de três algarismos distintos é possível formar com esses algarismos?
b) Quantos números de três algarismos é possível formar com esses algarismos?

Resolução:
a) Quantos números de três algarismos distintos é possível formar com esses algarismos?
3 . 2 . 1 = 6 números

b) Quantos números de três algarismos é possível formar com esses algarismos?
3 . 3 . 3 = 27 números

3) Oito cavalos disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os 3 primeiros lugares?

Resolução:
São apenas os 3 primeiros lugares, e temos 8 cavalos na disputa. Lembre-se que o cavalo que atingir a primeira colocação não poderá ficar em segundo lugar ao mesmo tempo.


Então,

Para o primeiro lugar a 8 possibilidades; para o segundo 7 e para o terceiro 6 possibilidades.

8 . 7 . 6 = 336

4) Enem-2012

O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores.

O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem estar associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras.

Folha de São Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 18 fev. 2012 (adaptado).

De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto?
a) 14
b) 18
c) 20
d) 21
e) 23

Resposta: alternativa c

Resolução: 
Dados do exercício:
São três cores primárias: azul, amarelo e vermelho.
Essas cores podem ser justapostas duas a duas.
Assim, 3 . 2 = 6

São três cores primárias e três cores secundárias.

O preto e o branco podem ser associados as cores identificando se são claras ou escuras.

Assim, 
Normais: 6
Claras: 6
Escuras: 6

Total= 18

E o exercício não para por aí, ainda temos as cores preto e branco. 18 + 2= 20

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Análise combinatória - principio multiplicativo - exercícios

Quantos são os números de três algarismos distintos que podemos formar usando os algarismos 2, 5, 6 e 7?

Resolução:
São 4 números: 2,5,6,7.
O enunciado nos dá uma restrição: diz que os números são distintos. Ou seja, diferentes.
Desse modo, há 4 possibilidades para a casa das centenas, 3 possibilidades para a casa das dezenas e 2 possibilidades para a casa das unidades.

Utilizando o princípio multiplicativo:
4 . 3 . 2 = 24 possibilidades

Um restaurante oferece no cardápio quatro opções de pratos quentes, duas opções de salada, três opções de bebida e duas opções de sobremesa, todas distintas. Quantas possibilidades um cliente tem de pedir uma refeição diferente?

Resolução:
Considerando:
4 opções de pratos quentes;
2 opções de salada;
3 opções de bebida;
2 opções de sobremesa.

Utilizando o princípio multiplicativo:
4 . 2 . 3 . 2 = 48 possibilidades

explicação: análise combinatória

Lançamento de moeda - análise combinatória

Uma moeda tem duas faces: cara (k) e coroa (c), lança-se uma moeda três vezes seguidas e observa-se qual face fica voltada para cima.

Quantos e quais são os resultados possíveis?

Resolução:
Utilizando a árvore de possibilidades:

Temos 8 possibilidades.

Utilizando o princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo:

Quando você joga uma moeda há duas possibilidades: cara (K) ou coroa (C).
Assim, no primeiro lançamento você tem 2 possibilidades, no segundo tem 2 possibilidades e no terceiro tem 2 possibilidades. Usando o princípio fundamental da contagem:

2 . 2 . 2 = 8 possibilidades.

análise combinatória | árvore de possibilidades | princípio multiplicativo

Análise Combinatória - parte 1

A análise combinatória é o ramo da Matemática que tem como objetivo estudar a constituição, a contagem e as propriedades dos agrupamentos de pessoas, números, letras, etc... 

É aplicada a muitos ramos como a genética, estatística, medicina, engenharia entre outras.

Em um restaurante vegetariano serve os seguintes pratos:

• dois tipos de massa: M1, M2
• dois tipos de acompanhamentos: A1, A2
• três tipos de vegetais: V1, V2, V3

Como determinar todas as possibilidades de fazer uma refeição que tenha um tipo de massa, um tipo de acompanhamento e um tipo de vegetal, sem que haja repetição?

Para responder essa pergunta podemos usar a árvore de possibilidades e o princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo.

Árvore de possibilidades

Podemos criar um esquema utilizando dos dados fornecidos, e então contar as possibilidades.

Princípio fundamental da contagem

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se k1, k2, .... kn indicam o número de possibilidades de cada etapa, o número total de maneiras pelas quais o evento ocorre é dado por:

k1 • k2 • .... • kn

Resolvendo a mesma pergunta através do princípio fundamental da contagem:

Em um restaurante vegetariano serve os seguintes pratos:

• dois tipos de massa: M1, M2
• dois tipos de acompanhamentos: A1, A2
• três tipos de vegetais: V1, V2, V3

Como determinar todas as possibilidades de fazer uma refeição que tenha um tipo de massa, um tipo de acompanhamento e um tipo de vegetal, sem que haja repetição?

n = etapas 3

k1 = 2

k2 = 2

k3 = 3

k1 • k2 • k3 = 2 • 2 • 3 = 12 possibilidades

E X E R C Í C I O S    D E   F I X A Ç Ã O

1) Uma pessoa dispõem de 2 calças, 2 paletós e 5 camisas distintos entre si. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir?

2) Um rapaz possuí 4 camisas e 3 bermudas, de quantas maneiras diferentes ele pode se vestir?

3) (PUC-Campinas) Considere placas de automóveis com códigos como estes:

ANA - 3457

BUM - 5166

CHI - 2002

As três letras são escolhidas em um alfabeto de 26 letras. Quantos códigos distintos existem, terminados com o número 1.000?
a) 17.576
b) 15.600
c) 5.800
d) 2.600
e) 6

4) Uma moeda tem duas faces: cara (k) e coroa (c). Lança-se uma moeda três vezes seguidas e observa-se qual face ficou voltada para cima. Quantos e quais os resultados possíveis? 

Fatorial de um número

O fatorial de um número é uma alternativa IMPORTANTE para a simplificação  de cálculos combinatórios. Ao produto de n fatores, de n até 1, com n ∈ N e n > 1, denominamos fatorial de n e indicamos por n!.

Assim:

n! = n • (n-1) • (n-2) • ... 3 • 2 • 1

  
Exemplos:

3! = 3 • 2 • 1

 4! = 4 • 3 • 2 • 1

Observações:
1!= 1
0! = 1

Podemos escrever:
8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
8! = 8 . 7!

E X E R C Í C I O S    D E   F I X A Ç Ã O

1) Indique na forma fatorial os seguintes números:
a) 24 = 1 . 2. 3. 4 = 4!
b) 120
c) 720

2) 3! + 2! é igual a:
a) 120
b) 32
c) 5
d) 8

3) Calcule o valor dos números fatoriais:
a) 0!
b) 1!
c) 6!

4) Resolva as equações:
a) (n - 4)! = 120

Resolução:

(n - 4)! = 5 . 4. 3. 2. 1

(n - 4)! = 5!

n - 4 = 5

n = 9

b) (n - 2)! = 24
c) (n - 1)! = 720

Arranjo simples

Alguns tipos de agrupamentos se diferem pela ordem, ou pela natureza. O arranjo simples considera essas diferenças.

Arranjos são agrupamentos que diferem entre si ao mudar a ordem de seus elementos.

Observe:
12, 21 (pela ordem), 52 e 45 (pela natureza).

Exemplo:
Em uma escola, há três estudantes concorrendo a presidência e vice-presidência do grêmio. São eles: Amanda (A), Bruna (B) e Carlos (C). De quantas maneiras esses dois cargos podem ser preenchidos?

Presidente	A       A                     B        B	C          C
Vice-presidente	B       C                     A        C	A          B

Observe as possibilidades que Amanda aparece como presidente:

AB  (Amanda presidente, Bruna vice-presidente)

AC (Amanda presidente, Carlos vice-presidente)

Na primeira etapa:

Para presidente existem 3 possibilidades para preencher o cargo.

Na segunda etapa:

Quando o cargo para presidente for preenchido restaram 2 possibilidades para preenchimento do cargo.

Assim,

Pelo princípio fundamental da contagem: 3 . 2 = 6 possibilidades diferentes.

AB, AC, BA, BC, CA, CB

Essas 6 possibilidades obtidas correspondem ao arranjo de três elementos, tomados dois a dois, indicamos por:

Para um arranjo de n elementos, tomados p a p, temos:

An,p = n • (n - 1) • (n - 2) • (n - 3) • .... • ( n - p + 1)

Exemplo:

Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os números 5, 4, 3, 2, 1, sem que haja repetição?

A5,3 = 5 • 4 • 3 = 60

ou

E X E R C Í C I O S    D E   F I X A Ç Ã O

1) Resolva:

a) A7,3 = 

b) A30, 2 = 

2) Quantos números de 3 algarismos distintos formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7?

3) Quantos números pares de 3 algarismos distintos formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

Permutações simples

Permutações são arranjos em que participam todos os elementos do conjunto.

Vamos considerar o conjunto A = {3, 2, 1}, e obter todos os arranjos de três algarismos:

321, 312, 213, 231, 123, 132

A3,3 = 6

Todos esses agrupamentos formados diferem apenas pela ordem. Os agrupamentos formados são chamados de permutações simples. Indicamos a permutação de n elementos por Pn.

Assim, P3 = A3,3 = 6

 Cálculo do número de permutações simples:

Pn = n!

Exemplo:
Quantos número de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 3, 4, 5, sem repeti-los?

P3 =3! = 3 . 2 . 1

Permutação com elementos repetidos

Até o momento, estudamos permutações com elementos distintos.

Mas o que acontece quando permutamos n elementos de uma sequência e entre eles há elementos repetidos?

Exemplo: 
Quantos anagramas tem a palavra RIGOROSO?
Essa palavra possuí duas letras que se repetem R e O. R é repetido 2 vezes e O é repetido 3 vezes. Assim, devemos considerar essa repetição já que essas letras não se diferenciam. E para não contarmos 3 vezes ou 2 vezes o mesmo anagrama.

Então,

Podemos generalizar o raciocínio anterior da seguinte maneira:
α elementos iguais a a1
β elementos iguais a a2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
y elementos iguais a am

Assim, podemos utilizar seguinte expressão:

 

 E X E R C Í C I O S    D E   F I X A Ç Ã O

1) Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA?

2) Quantos são os anagramas da palavra ROMA?

3) Quantos anagramas têm a palavra BRASIL?

4) (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 144

5) Quantos anagramas têm a palavra AMAR?

E aí? Gostaram? Dúvidas? Deixe um comentário!
Exercícios resolvidos e comentados [1][2][3]

: R E F E R Ê N C I A S :

Os dados e  exemplos usados nesse post foram baseados nas referências abaixo:

Paulo Bucchi. Curso Prático de Matemática, vol. 2, p. 160 - 182. Editora moderna, 1998.

José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Júnior, Paulo Roberto Câmara de Sousa. Matemática completa.  Editora FTD, 2016, vol.  2, p. 179 - 190.

Número, numeral, algarismo e dígito

Números

Número é a ideia de quantidade quando contamos, ordenamos e medimos. Assim, usamos os números para descrever quantidade, ordem ou medida.

Por exemplo: estamos pensando em números quando contamos o número de crianças em uma sala de aula, ou quando enumeramos a posição de uma pessoa numa fila ou quando medimos o nosso próprio peso em uma balança.

Numerais

Numeral é toda representação de um número,  escrito ou falado. Assim, é como expressamos esse número.  

Exemplo: o número 55 pode ser representado pelo numeral LV (no sistema de numeração romano) ou pelo numeral 55 (no sistema indo-arábico).

Algarismos

Algarismo ou dígito é todo símbolo que usamos para expressar os números.

Por exemplo: os algarismos indo-arábicos ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ), os algarismos romanos (I, V, X, L, C, D, M). O número 53 é representado pelos algarismos 5 e 3.

Sistemas de numeração

Prova Matemática Completa e Comentada - IFMG 2019

Prova IFMG 2019 - Matemática - Completa

Você pode querer acessar todos os exercícios resolvidos de matemática da prova do IFMG 1/2019 em slides:[clique aqui].

Ou você pode querer acessar todas as resoluções dos exercícios de matemática da prova do IFMG 1/2019 em pdf: [ clique aqui ].

IFMG 2019 - Questão 29 - Resolução

IFMG 1/2019 - Questão 29:

Quatro amigos resolveram comprar e repartir uma pizza para comer durante um jogo de futebol. O primeiro amigo comeu 1/4 da pizza, o segundo comeu 2/5 do restante e o terceiro, 1/3 ....

Resposta: alternativa c

Resolução:
Considere x sendo a pizza.

O primeiro amigo comeu 1/4 da pizza:
1/4 .(x)  =  x/4

O segundo amigo comeu 2/5 da pizza que sobrou:
2/5. (x - x/4) = 2/5 . (3x/4) = 3x/10

O terceiro amigo comeu 1/3 do que sobrou:
1/3 . (x - x/4 - 3x/10) = 1/3 . (9x/20) = 9x/60 = 3x/20

Então,
x - x/4 - 3x/10 - 3x/20 = 6x/20 = 3x/10

Outros sistemas de numeração

Antigos sistemas de numeração - já caiu no ENEM:

Sistema de numeração egípcio:

(Há cerca de 5 000 anos) - o sistema de numeração egípcio é um sistema aditivo, de base dez. Assim, os egípcios contavam formando grupos de 10 elementos. Um mesmo símbolo poderia ser repetido até 9 vezes. Com símbolos especiais para o 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 e não havia símbolo para o zero.  Também utilizam o  sistema multiplicativo.

Alguns exemplos:

A posição do símbolo não alterava seu valor:

Sistema de numeração babilônico:

(Há cerca de 5 000 anos) - o sistema de numeração babilônico foi criado por comerciantes que viviam na Mesopotâmia, entre os rios Tigre e Eufrates (o atual Iraque), eles tinham a necessidade de documentar suas atividades comerciais. 

Representavam os números menores que 60 em base 10, os outros números eram representados em base 60, utilizavam o princípio posicional (a posição do algarismo altera seu valor) e sistema também era aditivo. Não havia símbolo para o zero, mas deixavam um espaço para indicá-lo. 

Alguns exemplos:

Sistema de numeração grego:

(Há cerca de 600 anos a.C.) - os gregos utilizavam um sistema de numeração que também era um sistema aditivo e de base 10. Os números eram representados por letras.

Alguns exemplos:

Sistema de numeração romano:

(Há cerca de um século a.C.) - no sistema de numeração romano eram usados sete símbolos:

Era um sistema aditivo, de base 10 e posicional. Os símbolos poderiam ser repetidos até 3 vezes. 

Ainda hoje utilizamos esse sistema para diversas situações, como a designação de séculos, datas, reis, papas,capítulos e volumes de livros, em alguns relógios, assim é muito importante conhece-lo.

Alguns exemplos:
I    1
II   2
III  3
IV  4
V   5
X   10
XX 20
L    50
C   100
M  1 000

Leia mais.

Sistema de numeração chinês e japonês:

(Há cerca do século III a.C.) - os chineses e japoneses utilizavam um sistema de numeração aditivo e multiplicativo, de base 10. Os números eram representados de cima para baixo ou da esquerda para a direita. O lugar do zero era ocupado por um círculo.

Exemplos:

Sistema de numeração maia:

(Há cerca do século IV d.C.) - o sistema de numeração maia era um sistema posicional, de base 20. Usavam traços e pontos para representar os números. 

Os maias desenvolveram um calendário, conheciam astronomia, arquitetura, além de ter grande atividade comercial.

 

figura-fonte: wikipedia

Sistema de numeração indo-arabico:

Os árabes ao se deslocarem pelo norte da África e depois até a Espanha foram os responsáveis por difundir o sistema de numeração decimal ou sistema indo-arábico, sistema que originalmente foi criado por indianos, nesse sistema é utilizado o zero e a notação posicional (a posição do algarismo altera seu valor). Nesse sistema são utilizados até 10 símbolos - 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 -.

Saiba mais.

Importante: exercícios envolvendo sistema de numeração já fizeram parte das provas do ENEM.

Referências:

1. Praticando matemática.
2. Fundamentos de Matemática I.
3. Noções de sistema de numeração. UFPB <http://producao.virtual.ufpb.br/books/camyle/introducao-a-computacao-livro/livro/livro.chunked/ch03s01.html>
4. Fio Cruz. <http://www.invivo.fiocruz.br/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=985&sid=9>
5. Fio Cruz.<http://www.invivo.fiocruz.br/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=973&sid=9>
6. Sobre OS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO ROMANO (ROMANO/MEDIEVAL/MODERNO) <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2e.html>

Comprimentos no sistema métrico decimal

O que é medir?

Medir é comparar. A medida sempre depende da unidade que está sendo utilizada.

Observe o segmento AB:

Comprimentos no sistema métrico decimal

Para medir comprimentos, a unidade fundamental do sistema métrico decimal é o metro, seu símbolo é m. Podemos utilizar unidades maiores que o metro, ou menores. A partir do metro obtemos seus múltiplos e submúltiplos.

Note na tabela abaixo que o sistema métrico é decimal. Cada unidade é 10 vezes maior ou menor que a unidade ao seu lado.

Os múltiplos do metro (m): 

1 decâmetro (dam) = 10 m

1 hectômetro (hm) = 100 m

1 quilômetro (km) = 1000 m

Os submúltiplos do metro (m):

1 decímetro (dm) = 0,1 m

1 centímetro (cm) = 0,01 m

1 milímetro (mm) = 0,001 m

As unidades mais utilizadas são: cm, mm, m e km.

OBS: quando um exercício fornece medidas em unidades diferentes, por exemplo, quilômetros (km) e metros (m), devemos fazer a conversão. Devemos convertê-las para a mesma unidade, e então resolver o exercício.

Observe: 

1 km → 1 000 m

2 km → 2 000 m

3 km → 3 000 m

4 km → 4 000 m

....

Para converter de km para m basta multiplicar por 1000.

Para converter de m para cm basta multiplicar por 100.

O mais importante para fazer as conversões é se lembrar dessa tabela:

Exercício sistema métrico decimal

Uma folha de cartolina tem 1 mm de espessura. Indique a altura de uma pilha com:

a)10 folhas;

b)20 folhas;

c)2000 folhas.

Sistema de numeração romano e decimal

A numeração escrita é muito, muito antiga. Existem informações que as primeiras culturas a usarem símbolos especiais para os números desenvolveram-se junto a grandes rios, são elas China, Índia, Egito e Mesopotâmia.

Os primeiros sistemas de numeração surgiram com a necessidade de registrar objetos, animais, alimentos etc. Alguns exemplos de civilizações antigas que criaram antigos sistemas de numeração foram: Egípcios, Babilônicos, Gregos, Romanos, Chineses, Japoneses, Maias. Mas, nesse momento falaremos apenas sobre o sistema de numeração romano e o indo-arábico (atual sistema de numeração - o sistema de numeração decimal).

Sistema de numeração romano

Os antigos romanos possuíam um sistema de numeração formado por sete símbolos:

Esses símbolos são associados de maneiras distintas para representar outros valores.

Como representamos os números através desses símbolos?

• Os numerais V, L, D só podem ser usados uma vez.
• Os numerais I, X, C, M podem ser repetidos até três vezes.

Exemplos:

I = 1
II = 2
III =3
IV = 4
V = 5
VI = 6
X = 10
XX = 20
XXX = 30
C = 100
CC = 200
CCC = 300
M = 1.000
MM = 2.000
MMM = 3.000

Quando os numerais I, X e C são escritos à direita de numerais maiores, somam-se seus valores aos desses numerais.
Exemplos: VII = 7 ( 5 + 2 )

Quando os numerais I, X e C, escritos à esquerda de numerais maiores, subtraem-se seus valores aos desses numerais.  
Exemplos: IV = 4 (5-1)

Mais exemplos:

I - 1	V - 5	X - 10	L - 50	C - 100	D - 500	M - 1000
II - 2	IV- 4	IX - 9	LX - 60	CC - 200	CD - 400	MM - 2000
III - 3	VI- 6	XI - 11	XL - 40	CCC - 300	DC - 600	MMM - 3000

Sistema de numeração decimal e o sistema indo-arábico

Antigamente todos tinham um sistema diferente de numeração, o que dificultava as atividades comerciais. Os árabes ao se deslocarem pelo norte da África e pela Espanha foram os responsáveis por difundir o sistema de numeração decimal ou sistema indo-arábico, sistema que originalmente foi criado por indianos, nesse sistema é utilizado o zero e a notação posicional - em que a posição do algarismo altera seu valor - assim, um mesmo símbolo representava valores diferentes dependendo da posição que ocupasse.

Com apenas 10 símbolos - 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 -  nesse sistema é possível registrar todos os números. Esses símbolos são chamados de algarismos e também de dígitos.

É chamado de sistema decimal ou de base 10 por ser agrupado de 10 em 10, provavelmente é agrupado de 10 em 10 como consequência do uso dos dedos das mãos para contagem.

10 unidades → 1 dezena

10 dezenas → 1 centena

10 centenas → 1 unidade de milhar

10 unidades de milhar → 1 dezena de milhar

10 dezenas de milhar → 1 centena de milhar

10 centenas de milhas → 1 unidade de milhão...

Esse sistema de numeração é o qual usamos atualmente. Mas, os símbolos eram diferentes do que conhecemos e foram se modificando ao longo do tempo até chegar nesse formato - 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. 

Exercícios com o sistema de numeração romano

1) Escreva os números representados por:
a) XV
b) XXX
c) MM
d) LXXX
e) DCCLI
f) MVI
g) MMCIX

2) Usando o sistema de numeração romano, escreva os seguintes números:
a) 22
b) 100
c) 110
d) 101
e) 1000

Outros sistemas de numeração

Referências:

Para a elaboração específica desse post foi utilizado o livro Fundamentos de Matemática I de autoria de Neri Terezinha Both Carvalho e Carmem Suzane Comitre Gimenez.

IFMG 2019 Questão 30 - Solução

IFMG 2019 - Questão 30

Um problema dado em uma aula de Matemática pedia que se calculasse o valor de a/b, sendo a e b dados pelas expressões a seguir.

Resposta: alternativa b

Resolução:

 

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IFMG 2019 - Questão 22

Prova comentada IFMG: QUESTÃO 22

Oliveira construiu uma casa de campo em um terreno retangular com área igual a 108 m². Ele deixou um afastamento de mesma largura entre a casa e as divisas do terreno. A casa construída tem 8,0 m de comprimento e 5,0 m de largura. A seguir, a figura com o esboço da construção.

Assim, qual é a medida do afastamento, em metros?
A) 2,00
B) 4,00
C) 8,50
D)17,00

Resposta: alternativa a

Resolução:

A área do retângulo A=b.h

A=b.h
A=(2x+8).(2x+5)

A área do terreno é 108 m².
108 = (2x+8).(2x+5)
108 = 4x² + 10x + 16x + 40
108 = 4x² + 26x + 40
4x² + 26x + 40 - 108 =0
4x² + 26x - 68 =0

Simplificando...
2x² + 13x - 34 = 0

Δ = b² - 4ac
Δ = 13² - 4.2.(-34)
Δ= 169 + 272
Δ= 441

 Assim, x = 2m

Observação: ter muita atenção aos sinais no exercício.

IFMG 2019: Questão 28

Prova comentada: IFMG 1/2019

QUESTÃO 28

Na fazenda do sr. Antônio, há três relógios que batem a cada 30, 45 e 60 minutos, respectivamente. Em certo dia, verificou-se que às 8h os três relógios bateram simultaneamente.

Nesse mesmo dia, os três relógios bateram juntos novamente às:

A)8:15
B)10:15
C)11:00
D)15:00

Resposta: alternativa c

Resolução:

Fazendo o MMC (30,45,60) = 2,2,3,3,5 = 180 minutos = 3 horas

8 horas + 3 horas = 11 horas.

IFMG 2019: Questão 27

QUESTÃO 27

Um artista plástico pretende fazer uma sequência de mosaicos com ladrilhos pretos e brancos, como apresentado na figura a seguir.

Utilizando o mesmo padrão da sequência dos mosaicos 1, 2 e 3, qual é a quantidade de ladrilhos pretos necessários para confeccionar o mosaico 4?

A) 40
B) 44
C) 45
D) 57

Resposta: alternativa a

Resolução:
O Mosaico 1 tem 16 ladrilhos pretos, o Mosaico 2 tem 24 ladrilhos pretos, e o Mosaico 3 tem 32 ladrilhos pretos. 24-16 =8. Obtemos a razão dessa sequência numérica.

Utilizando a fórmula da P.A:

O exercício quer saber qual a quantidade de ladrilhos pretos para confeccionar o mosaico 4.

Então,

a4= a1 + (4-1). r
a4=16 + 3.8
a4= 40


Resposta: 40

IFMG 2019: questão 25

IFMG 1/2019: QUESTÃO 25

Para eleição do representante de uma turma de 9º ano, três candidatos receberam a seguinte quantidade de votos.

Cirilo – 25 votos. Ferdinando – 18 votos. Jairo – 7 votos.

Assinale o gráfico que representa corretamente esses dados.

Resposta: alternativa c

Resolução:
Primeiro contar os votos: 50 votos no total.
Agora a regra de três:

Primeiro para o Cirilo:
50 ------------------ 100%
25 ------------------ x

50x=2500
x=50%

Agora para a Ferdinando:
50 ------------------ 100%
18------------------ x

50x=1800
x=36%

A partir desses dois dados é possível encontrar a alternativa correta.

Prova comentada: IFMG 2019 - Questão 24

IFMG 2019: QUESTÃO 24

Ao acessar o portal do Instituto Federal de Minas Gerais - IFMG para realizar sua inscrição no vestibular, um candidato indeciso depara-se com o mapa a seguir, que mostra todas cidades em que o IFMG oferece cursos. Ele fecha os olhos e aponta aleatoriamente para uma das cidades da região do Vale do Rio Doce, a qual escolhe para fazer sua inscrição no vestibular.

 

A probabilidade de o candidato indeciso ter se inscrito para estudar no IFMG campus São João Evangelista é de, aproximadamente,

A) 6%.
B) 17%.
C) 33%.
D) 61%.

Resposta: alternativa c

Resolução:
Leia com atenção o enunciado do exercício. O candidato aponta para uma das regiões do Vale do Rio Doce. Utilizando a fórmula de probabilidade:

 

Resposta: 33%

IFMG 2019 - Questão 23

Prova comentada IFMG 2019 - QUESTÃO 23

Um corredor de 100 metros rasos faz treinos diários para melhorar seu desempenho. Em um dia, ele fez 10 corridas na pista e obteve uma média de tempo de exatos 11 segundos. No dia seguinte, ele fez apenas 5 corridas e obteve os seguintes tempos: 11 segundos; 10,5 segundos; 11,2 segundos; 10,4 segundos e 10,4 segundos.

A média de todos os tempos obtidos pelo corredor nesses dois dias, em segundos, foi de:
A) 10,70
B) 10,75
C) 10,85
D) 10,90

Resposta: alternativa d

Resolução:
A média aritmética é obtida pela soma de todos os valores (soma dos termos) e dividido o valor encontrado pelo número de termos. Veja a fórmula abaixo:

O exercício informa que no primeiro dia ele faz 10 corridas e tem uma MÉDIA de tempo de 11 segundos exatos. No segundo dia ele faz apenas 5 corridas, e obteve os seguintes tempos: 11s; 10,5s; 11,2; 10,4s; e 10,4s.

Podemos dizer que no primeiro dia a soma dos termos foi 110, já que a média de tempo é 11, nas 10 corridas que ele fez (110/10 =11).

 

No caso a será o tempo de corrida de cada volta, e n serão as voltas dadas.

Obrigada!

IFMG 2019 Questão 26

Para diversificar a produção, sr. João dividiu o seu terreno em três regiões, como apresentado na figura a seguir.

Dessa forma, a área, em m², reservada pelo sr. João para o plantio de milho foi de:

A)26
B)20
C)10√5
D)50/3

Resposta: alternativa b

Resolução:

Podemos transformar a figura em um retângulo. Um retângulo tem todos os ângulo retos, as diagonais congruentes e lados opostos paralelos. É interessante recordar as propriedades dos paralelogramos. Observe a figura abaixo:

Depois de transformar essa figura em um retângulo fica mais fácil observar os valores na figura.

Ele quer saber a área reservada para o plantio de milho, ou seja a área do triângulo AGF.
Para isso é necessário descobrir dos outros triângulos e aí subtrair com a área do retângulo.

Triângulo CGF
h²= a²+b²
5²=3²+b²
25-9=b²
b=4

Assim, FC vale 4m, e DF vale 4m.

Vamos calcular a área dos triângulos para no final subtrair da área do retângulo e aí descobrir a área do triângulo AGF, que é a área que o exercício pede.

Área do triângulo DAF

A= 28/2 = 14m

Área do triângulo BGA

A=32/2 = 16m

Área do triângulo CGF

A=12/2 = 6m

Área do retângulo

A= B.h

A=56m

Ar - At1 - At2 - At3 = 20m

IFMG 2019 - Questão 21

Questão 21 
A família Silva reservou em seu orçamento doméstico o limite máximo de R$ 600,00 mensais para contratar uma diarista que auxilie na limpeza da casa. A empresa Limpe Tudo ofereceu dois planos para a família avaliar:

● Plano I – Contrato avulso: cada diária custa R$ 80,00.
● Plano II – Contrato mensal: paga-se R$ 120,00 de mensalidade mais R$ 50,00 por diária.

Tendo em vista o valor reservado para pagamento das faxinas e considerando o maior número de faxinas por mês, a família Silva optou pelo

A)plano I, contratando 7 diárias.
B)plano I, contratando 8 diárias.
C)plano II, contratando 9 diárias.
D)plano II, contratando 10 diárias.

Resposta: alternativa c

Resolução:
Nesse exercício pegamos o o valor máximo R$600,00 e testamos no dois plano, o plano que ter o maior número de faxinas por mês, será o plano escolhido pela família.

Plano 1:
600/80 = 7,5 (7 diárias)

Plano 2:
600 - 120 = 480
480/50 = 9,6 (9 diárias)

IFMG 2019 - Questão 20

Prova Comentada IFMG 1/2019

Questão 20

Carlos e Daniel são dois amigos e entusiastas do ciclismo e, após pesquisarem sobre qual seria a bicicleta ideal para a prática do esporte, decidiram comprar bicicletas de aros 26 e 29 polegadas, respectivamente.

A imagem a seguir evidencia a diferença entre as dimensões dos aros escolhidos.

Considerando 3,0 como uma aproximação para π (pi) e que os amigos percorreram a distância de 1980 m com suas bicicletas, qual é o valor aproximado da diferença entre a quantidade de voltas efetuadas pelas rodas das bicicletas dos dois amigos?

A) 41 voltas
B) 54 voltas
C) 83 voltas
D) 108 voltas

Resposta: alternativa d

Resolução:
Em cada volta dada pela roda da bicicleta é percorrido a distância de sua circunferência.
Primeiro vamos descobrir a circunferência dos aros.

Chamarei a circunferência do aro maior de C' , e do aro menor de C''.

A fórmula da circunferência é: C = 2 π r

Então:

π (pi)=3,0 (dado do exercício) 

r = raio

r' = raio (raio do arco maior)

r''= raio (raio do arco menor)

Circunferência do aro maior:
C'= 2πr'
C'= 2 . 3 . 37
C'= 222 cm

Circunferência do aro menor:
C'' = 2πr''
C''= 2 . 3 . 33
C''= 198 cm

Agora é necessário dividir a distância percorrida pela circunferência de cada aro para saber quantas voltas cada roda da bicicleta deu. Mas, antes é necessário converter o valor da distância para cm.

m            |           dc         |       cm

     1980                   19800                198000

Voltas percorridas pelo arco maior:

 198000/222 = 891,891 voltas = 892 voltas

Voltas percorridas pelo arco menor:

198000/198 =  1000 voltas

Qual é o valor aproximado da diferença entre a quantidade de voltas?

1000-892= 108 voltas

Questão 18 - IFMG 2019 | Questão 19 - IFMG 2019

IFMG 2019 - Questão 19

Prova Comentada: IFMG 1/2019

Questão 19

Uma equipe de salvamento aéreo foi acionada para um resgate de um grupo de cinco pessoas que se encontravam desaparecidas após saírem para a realização de uma trilha em uma região de difícil acesso.

Foi repassado ao piloto do helicóptero, que estava responsável pelas buscas, um local que apresentava, inicialmente, como coordenada geográfica uma latitude de 22° 15’ 10” sul e longitude de 21° 26’ 12” leste. Após deixar a base de salvamento, o piloto do helicóptero foi informado, pelo rádio, de que precisaria acrescentar um ângulo de 3º 48’ 52” na latitude.

Assim, a nova coordenada geográfica terá uma latitude de:

A)26° 04’ 02”.
B)25° 63’ 62”.
C)26° 03’ 02”.
D)25° 64’ 02”.

Resposta: alternativa  a

Resolução:
Para resolver esse exercício você deve ter um conhecimento básico de coordenadas geográficas, saber diferenciar as latitudes das longitudes. E saber sobre graus, minutos e segundos.

1° = (um grau) = equivale a 60´ (60 minutos)

1' =(um minuto) = equivale a 60'' (60 segundos)

Desse modo, eu não posso escrever 61'' (61 segundos), posso escrever no máximo 60''.

Vamos observar os dados do exercício:

Coordenadas geográficas:
Latitude: 22° 15’ 10” sul
Longitude: 21° 26’ 12” leste

Acrescentar um ângulo de na latitude:  3º 48’ 52”

Então é só somar latitude com latitude:
   22° 15’ 10”
+  3º  48’ 52”
___________
    26º  04'  02''

Questão 18 - IFMG/2019 | Questão 16 e 17 - IFMG/2019

IFMG 2019 - Questão 18

Prova Comentada: IFMG 1/2019

QUESTÃO 18

Certa prefeitura recebeu uma verba para a reforma de uma praça, que tem a forma de um triângulo. Para não interditar toda a praça, o arquiteto responsável pela obra decidiu dividi-la em duas partes, colocando uma fita de isolamento paralela a um dos lados, conforme a figura a seguir.

Assim, o comprimento da fita de isolamento, em metros, usada para essa finalidade é de:
A)4,8
B)7,2
C)8,0
D)10,0

Resposta: alternativa a

Resolução:
Para resolver esse exercício é necessário ter conhecimento sobre Semelhança de triângulos.

Observe a figura abaixo.
Podemos considerar os triângulos ABC e ADE semelhantes.

Assim,

IFMG 2019 - Questão 16 e 17 | IFMG 2019 - Questão 19

IFMG 2019 - Questões 16 e 17

Prova Comentada: IFMG 1/2019

Questão 16:
O jogo “Múltiplo de 10” utiliza um dado cúbico em que cada face é numerada com um número de 10 a 60 variando de 10 em 10, e a soma dos números das faces opostas sempre resulta em 70.

Assinale a alternativa que representa uma planificação do dado desse jogo.

Resposta: alternativa d

Comentário: Para solucionar esse problema basta imaginar os lados do dado cúbico com os valores indicados. Imagine o lado "10" como a base e teste todas as faces opostas que deve resultar no valor "70".

Questão 17:
O logotipo de uma empresa foi criado a partir de um disco de raio 2 cm. O designer dividiu o disco em 4 setores circulares iguais. Um dos setores foi substituído por outro setor circular, mas com área medindo metade da área do setor original.

A seguir, um esboço do logotipo.

Logo, a medida do raio, em centímetros, do menor setor circular que compõe o logotipo é:
a) 1

c) π/2
d) 2

Resposta: alternativa b

Resolução:
Calcular a área do círculo (do disco), utilizando a fórmula:

r=2

A= 4π

No enunciado diz que o designer dividiu o disco em 4 setores circulares iguais. Um desses setores foi substituído por outro de setor circular, que tem a metade da área do setor original. Com esse dado podemos concluir que esse novo setor circular veio de um círculo com a metade da área do círculo original.

Assim, calcular a área do novo círculo(A´), a área dele é a metade do círculo original:

A´= A/2

A´= 4π/2

A´=2π

A partir desse dado encontrar o raio:

Questão 18 - IFMG 2019 | Questão 19 - IFMG 2019

UERN - 2012 - Conjuntos

(UERN - 2012)

Numa festa foram servidos dois tipos de salgados: um de queijo e outro de frango. Considere que 15 pessoas comeram os dois salgados, 45 não comeram o salgado de queijo, 50 não comeram o salgado de frango e 70 pessoas comeram pelo menos um dos dois salgados.

O número de pessoas presentes nesta festa que não comeram nenhum dos dois salgados foi:

a) 18
b) 20
c) 10
d) 15
e) 25

Resposta: alternativa b

Resolução:
Para resolver esse exercício é necessário montar um diagrama. Para aprender a utilizar o Diagrama de Venn [clique aqui].
Chamaremos de Q o conjunto das pessoas que comeram o salgado de queijo, F o conjunto das pessoas que comeram o salgado de frango. E chamaremos de x o número de pessoas que não comeram nenhum dos dois salgados. Veja o diagrama abaixo:

Dados do exercício:
15 pessoas comeram os DOIS salgados.
45 não comeram o salgado de queijo (assim, comeram o de frango ou não comeram nenhum, então segue assim 45 - x) - Conjunto F
50 não comeram o salgado de frango (assim, comeram o de queijo ou não comeram nenhum, então segue assim 50 -x) - Conjunto Q
O exercício da mais um dado, 70 pessoas comeram pelo menos um dos salgados.
Então, 
50 - x + 15 + 45 - x = 70
x = 20

Diagrama de Venn | Exercício semelhante